Какви елементи участват в изчисляването на процентите?

Във всяка ситуация с проценти участват три елемента: общата сума, частта от тази сума и самият процент. Всъщност имаме работа с пропорция с две съпоставени съотношения, като едно от тях винаги има числото 100 като знаменател.

1800 евро

Най-простият начин да го разгледаме е като правило от три:

ТОЛКОВО ПРОЦЕНТ 100
ЧАСТ ОБЩА СУМА

Първият ред представлява процентното съотношение (съотношение между число и 100), а вторият ред е същото съотношение, но изразен като функция от величините, които съответстват на проблема, по който работим.

Ако ни е по-удобно, можем да напишем горното като равенство между причините:

Променете подреждането на числата, но идеята е абсолютно същата: "Съответният процент е до 100, тъй като частта е към общия".

Можем да го възприемаме и като дроб, действащ като оператор. В този случай бихме написали следното:

Всяка от трите опции е валидна за поставяне и решаване на проблеми с проценти, но използването на правила от три е може би най-удобният метод.

НАБЛЮДЕНИЕ Ако използвате правила на три за решаване на проблеми с процента, няма да имате много проблеми с решаването на неизвестното, било то частта, сумата или процента. Ако интерпретирате процентите като дроби, не би трябвало да ви е трудно да решавате, но няма да се занимавате с процес, механизиран като правило от три, така че трябва да обърнете специално внимание.

Три елемента. три ситуации

Когато решаваме задачи с проценти, изявлението ще ни даде два от трите участващи елемента и ще трябва да изчислим този, който липсва. По-долу ще намерите три примера, решени с правила от три, по един за всяка от възможните ситуации. Можете да опитате да ги разрешите, като използвате другите интерпретации на процентите.

СИТУАЦИЯ 1: Не знаем частта

Семейство харчи 36% от месечния си бюджет за храна. Ако имат доход от 1800 евро на месец, колко харчи семейството на месец за храна?

евро.

ОТГОВОР: Семейството харчи 648 евро на месец за храна.

СИТУАЦИЯ 2: Не знаем общата сума

В урологичен конгрес 15% от присъстващите са испанци. Ако знаем, че има 36 испански уролога, колко са тези, които присъстват на конгреса?

уролози.

ОТГОВОР: 240 уролози присъстват на конгреса.

СИТУАЦИЯ 3: Не знаем процента

Семейство, което има месечен доход от 2400 евро, харчи 300 евро за отдих. Какъв процент от дохода е посветен на свободното време?

%

ОТГОВОР: Семейството отделя 12,5% от доходите си за отдих.

НАБЛЮДЕНИЕ Винаги можете да използвате едно и също правило от три, просто трябва да внимавате да поставите инкогнито на правилното място.

Ако сте прочели отражението на предишната страница, ще знаете, че ако искаме да изчислим например 21% от всяко количество, можем да изчислим отделно 20% и 1% и след това да добавим. Можем ли винаги да добавяме проценти, изчислени отделно? Зависи. Ако процентите се изчисляват върху една и съща сума, можем да ги добавяме и изваждаме свободно. В такъв случай ще приложим разпределителното свойство. Когато обаче процентите се прилагат към различни суми, не можем да ги добавяме или изваждаме.

Много често срещана грешка е да се добавят проценти на увеличения или отстъпки, приложени към различни количества, сякаш са приложени към едно и също количество.

По-лесно е да се разбере с пример:

След трудова реформа работникът получава намаление от 5% от заплатата си, която първоначално е била 1500 евро. След една година правителството решава да приложи друго намаление, този път от 8%. Каква е вашата заплата след двете намаления? Какъв процент намаление сте претърпели по отношение на първоначалната заплата от 1500 евро?

Не би трябвало да има проблем с отговора на първия въпрос.

Първоначално работникът има 100% от заплатата си, но губи 5%, така че запазва 95%. Тези проценти могат да бъдат извадени, тъй като и двете се отнасят за първоначалните 1500 евро.

€.

След първото намаление заплатата ви е 1425 евро. Година по-късно те прилагат още едно намаление, сега 8%, върху общата му заплата по това време, което вече не е 1500 евро, а 1425 евро. Ситуацията е подобна на предишната, тъй като те ви взимат 8%, вие запазвате 92% от текущата си обща заплата, тоест:

€.

Вашата заплата след две намаления е 1311 евро, тоест губите 189 евро на месец в сравнение със заплатата преди първото намаление.

Вторият въпрос също е прост, но интуицията може да ни изиграе номер. ОБЩАТА ОТСТЪПКА НЕ Е 13%. Не можем да добавим 5% и 8%, тъй като те не се отнасят за една и съща сума. Първото намаление е за първоначалните 1500 евро, а второто за 1425 евро, което остава след първата отстъпка.

Как да изчислим процента тогава? Имаме няколко възможности:

Тъй като знаем отстъпката след двете продажби, 189 евро, и общата начална заплата, 1500 евро, можем да използваме правило от три, за да изчислим процента на отстъпката:

%

Друг вариант е да приложите двата процента последователно, интерпретирайки ги като дроб или десетично число и да умножите, за да получите общия процент от заплатата, който работникът запазва след двете намаления.

Винаги стигаме до един и същ отговор: Работникът запазва 87,4% от заплатата си, за което претърпява общо намаление от 12,6%.

Сега си представете следната ситуация:

Работник със заплата от 1800 евро получава намаление от 10%. Години по-късно правителството решава да компенсира това намаление с 10% увеличение на заплатата на работника по това време. Възстановява ли работникът първоначалната си заплата от 1800 евро?

За пореден път нашата интуиция може да ни изиграе номер. Окончателното увеличение от 10% не компенсира първоначалната 10% отстъпка, тъй като тези проценти се прилагат за различни суми. Обърни внимание:

След първото намаление работникът запазва 90% от първоначалните 1800 евро, тъй като губи 10%:

€.

Години по-късно се прави опит да се компенсира предишното намаление с 10% увеличение, но общата сума, върху която се прилага увеличението, вече не е 1800 евро, а 1620 евро. Следователно:

€.

Както можете да видите, работникът не получава обратно 1800 евро на месец, а 1782 евро, което представлява 99% от заплатата им преди първоначалното намаление.

Ако приложите процентите последователно, можете да видите откъде идват тези 99%:

Можете да използвате следния аплет Geogebra, за да проверите решенията на процента проблеми в този раздел. Натиснете съответния бутон според ситуацията и попълнете липсващите данни.